圆的周长公式怎么算(圆的面积公式是怎么得到的)

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  圆的周长公式怎么算(圆的面积公式是怎么得到的)

  对于任意圆,其面积s等于圆周率与半径平方r ^ 2的乘积。或者说,任意圆的面积与其半径的平方之比都是同一个常数—— pi。那么,这个结论是严格的数学证明,还是数学直觉?事实上,圆面积公式(s=r ^ 2)可以在数学上严格证明。中国古代数学家和古希腊数学家都证明了这个公式。圆面积公式的证明方法有很多种,这里举几个例子。

  如果一个圆被分成n个相等的部分,那么它被拼接成如下四边形:

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  当n趋于无穷大,即圆被分成无穷多个相等的部分时,那么四边形就变成了矩形。显然,这个矩形的长度是半圆的周长(r),宽度是圆的半径(r)。这个矩形的面积等于一个圆的面积,那么圆面积的公式可以得到如下:S=r?r=r^2。

  但要完成这样的证明,首先要证明周长公式(C=2r)。根据相似三角形原理,用几何方法很容易证明圆的周长与直径之比相等,称为圆周率。

  将圆分成n个相等的部分,并连接每个扇区中半径和圆的交点。并且假设每个扇形的中心角为2,那么2=2/n。

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  考察其中一个三角形OAB,根据三角函数,OC=rcos,AB=2rsin,三角形OAB的面积为:

  SOAB=1/2 AB OC=r^2sincos

  当n趋于无穷大时,圆的面积可以表示为:

  S=lim(n )n SOAB

  根据极限原理,可以计算出s=r ^ 2。

  严格来说,这也是一种极限方法,但这里圆的面积是严格用圆的方程(x ^ 2 ^ y ^ 2=r ^ 2)来计算的:

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  如果把圆分成无数个厚度为dr的薄环,那么每个环的面积为2 r dr,可以通过积分得到:

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  总之,圆的面积与其半径的平方之比为pi,这是经过严格数学证明的,不是经验公式。

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